2.2 不等式的解法2.2.1 区间的概念区间 可用于表示不等式的解集。
下面介绍区间的概念：
设 a,ba,ba,b 是 实数，且 a 满足 a≤x≤ba \le x \le ba≤x≤b 的实数 xxx 的全体，叫做 闭区间，记作 [a,b]\Large [a, b][a,b] 。 满足 a 满足 a≤x aaa 和 bbb 叫做区间的 端点。 在数轴上表示一个区间时，区间包括端点，则端点用实心点表示； 区间不包括端点，则端点用空心点表示。 全体实数也可以用区间表示为 (−∞,+∞)\Large (- \infty , + \infty )(−∞,+∞) ， 符号 “ +∞+ \infty+∞ ” 读作“正无穷大” ，符号 “ −∞- \infty−∞ ” 读作“负无穷大”。 2.2.2 一元一次不等式（组）的解法在不等式中，有 1 个未知数，且次数为 1，这样的不等式叫做 一元一次不等式。 由多个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做 一元一次不等式组。 使不等式成立的未知数的值的全体，通常称为这个 不等式的解集。 解由多个不等式组成的不等式组，就是求这几个不等式的解集的公共部分（取交集）。 解不等式0.6x<50+0.4x0.6x−0.4x<50（移项）0.2x<50（同类项合并）x<250（两边同除以 0.2，不等号方向不变）\Large \begin{align*} 0.6x &< 50 + 0.4x \\ 0.6x - 0.4x &< 50 &\text{（移项）} \\ 0.2x &< 50 &\text{（同类项合并）} \\ x &< 250 &\text{（两边同除以 0.2，不等号方向不变）} \end{align*}0.6x0.6x−0.4x0.2xx<50+0.4x<50<50<250（移项）（同类项合并）（两边同除以 0.2，不等号方向不变）2(x+1)+x−23>7x212(x+1)+2(x−2)>21x−6（原式两边乘 6）12x+12+2x−4>−12+4−6（分配律）12x+2x−21x>−12+4−6（移项）−7x>−14（合并同类项）x<2（不等式性质）\Large \begin{align*} 2(x+1) + \frac{x-2}{3} &> \frac{7x}{2} \\ 12(x+1) + 2(x-2) &> 21x - 6 &\text{（原式两边乘 6）} \\ 12x + 12 + 2x - 4 &> -12 + 4 - 6 &\text{（分配律）} \\ 12x + 2x -21x &> -12 + 4 -6 &\text{（移项）} \\ -7x &> -14 &\text{（合并同类项）} \\ x &< 2 &\text{（不等式性质）} \\ \end{align*}2(x+1)+3x−212(x+1)+2(x−2)12x+12+2x−412x+2x−21x−7xx>27x>21x−6>−12+4−6>−12+4−6>−14<2（原式两边乘 6）（分配律）（移项）（合并同类项）（不等式性质）答：原不等式的解集是 {x∣x<2}\{ x | x<2 \}{x∣x<2} ，即 (−∞,2)(- \infty , 2)(−∞,2) 。 解一元一次不等式的步骤归纳去分母去括号移项合并同类项，化成不等式 ax>b(a≠0)ax > b (a \not = 0)ax>b(a=0) 的形式不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为 {x∣x>ba}\{ x | x > \frac{b}{a} \}{x∣x>ab} 或 {x∣x 4000≤x≤4100\large 4000 \le x \le 41004000≤x≤4100 的整数。 {−3x+2x≥5x+13x≤−1\Large \begin{cases} -3x + 2x \ge 5 \\ x + \frac{1}{3}x \le -1 \end{cases}⎩⎨⎧−3x+2x≥5x+31x≤−1解： 由原不等式组可得：{−x≥543x≤−1\begin{cases} -x \ge 5 \\ \frac{4}{3} x \le -1 \end{cases}{−x≥534x≤−1 即 {−x≤−5x≤−43\begin{cases} -x \le -5 \\ x \le - \frac{4}{3} \end{cases}{−x≤−5x≤−34 所以 x≤−5x \le -5x≤−5 即原不等式的解集为 {x∣x≤−5}\large \{ x | x \le -5 \}{x∣x≤−5} {5x−7x≤−4x−212x−13x+2>0\Large \begin{cases} 5x - 7x \le -4x - 2 \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x + 2 > 0 \end{cases}⎩⎨⎧5x−7x≤−4x−221x−31x+2>0解： 由原不等式组可得 {2x≤−216x>−2\begin{cases} 2x \le -2 \\ \frac{1}{6}x > -2 \end{cases}{2x≤−261x>−2 即 {x≤−1x>−12\begin{cases} x \le -1 \\ x > -12 \end{cases}{x≤−1x>−12 所以 −12 即原不等式组的解集为 {x∣−12 即 (−12,−1]\large (-12, -1](−12,−1] 解一元一次不等式组的步骤归纳求出这个不等式组中各个不等式的解集求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集2.2.3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式是： ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)\Large ax^2 + bx + c > 0 \qquad \text{或} \qquad ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做 一元二次不等式。 满足一元二次的未知数的取值范围，通常叫做这个不等式的解集。 解一元二次不等式(30+2x)(300−10x)≥10000−20x2+600x−300x+9000≥10000x2−15x+50≤0(x−5)(x−10)≤0\Large \begin{align} (30 + 2x)(300 - 10x) &\ge 10000 \\ -20x^2 + 600x - 300x + 9000 &\ge 10000 \\ x^2 - 15x + 50 &\le 0 \\ (x -5)(x - 10) &\le 0 \end{align}(30+2x)(300−10x)−20x2+600x−300x+9000x2−15x+50(x−5)(x−10)≥10000≥10000≤0≤0已知两数乘积小于 0 时，相乘的两数异号，所以解上述不等式 (4)(4)(4) ，相当于解下面两个不等式组： (I){x−5≥0x−10≤0或(II){x−5≤0x−10≥0\large (I) \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ x - 10 \le 0 \end{cases} \quad \text{或} \quad (II) \begin{cases} x - 5 \le 0 \\ x - 10 \ge 0 \end{cases}(I)⎩⎨⎧x−5≥0x−10≤0或(II)⎩⎨⎧x−5≤0x−10≥0解不等式 (I)(I)(I) 得：5≤x≤10\large 5 \le x \le 105≤x≤10 解不等式 (II)(II)(II) ： 可以看出同时满足 (II)(II)(II) 中的不等式的未知数不存在。考虑到 300−10x≥0300 - 10x \ge 0300−10x≥0 ，即 x≤30x \le 30x≤30 。综上，问题中的未知数 xxx 的取值范围是：5≤x≤10\Large 5 \le x \le 105≤x≤10(1)x2−x−12>0(2)x2−x−12<0\Large \begin{align*} & (1) \quad x^2 - x - 12 > 0 \qquad & (2) \quad x^2 - x - 12 < 0 \end{align*}(1)x2−x−12>0(2)x2−x−12<0方程 x2−x−12=0x^2 - x - 12 = 0x2−x−12=0 的判别式： Δ=(−1)2−4×1×(−12)=49>0\large \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 49 > 0Δ=(−1)2−4×1×(−12)=49>0于是可求出它的两个根为 −3,4-3, 4−3,4。 把二次三项式 x2−x−12x^2 - x - 12x2−x−12 进行 因式分解，得： x2−x−12=(x+3)(x−4)\large x^2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4)x2−x−12=(x+3)(x−4)把 (x+3)(x + 3)(x+3) 与 (x−4)(x - 4)(x−4) 看成两个实数，根据两个实数相乘的运算法则： 两数的积大于 0 时，它们同号（同为正或同为负）。两数的积小于 0 时，它们异号。因此，解原不等式 (1)(1)(1) 就可以转化为解下列两组不等式组： (I){x+3>0x−4>0 或 (II){x+3<0x−4<0\large (I) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} \quad \text{ 或 } \quad (II) \begin{cases} x + 3 < 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}(I)⎩⎨⎧x+3>0x−4>0 或 (II)⎩⎨⎧x+3<0x−4<0(I)(I)(I) 的解集是 {x∣x>4}\large \{ x | x > 4 \}{x∣x>4}； (II)(II)(II) 的解集是 {x∣x<−3}\large \{ x | x < -3 \}{x∣x<−3}； 所以原不等式的解集为 {x∣x>4 或 x<−3}\large \{ x | x > 4 \text{ 或 } x < -3 \}{x∣x>4 或 x<−3}，即： (−∞,−3)∪(4,+∞)\Large (- \infty , -3) \cup (4, + \infty )(−∞,−3)∪(4,+∞)因此，解原不等式 (2)(2)(2) 就可以转化为解下列两组不等式组： (III){x+3>0x−4<0 或 (IV){x+3<0x−4>0\large (III) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases} \quad \text{ 或 } \quad (IV) \begin{cases} x + 3 < 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases}(III)⎩⎨⎧x+3>0x−4<0 或 (IV)⎩⎨⎧x+3<0x−4>0(III)(III)(III) 的解集是 {x∣−3 (IV)(IV)(IV) 的解集是 ∅\large \varnothing∅； 所以原不等式的解集为 {x∣−3 (−3,4)\Large (-3, 4)(−3,4)(1)x2−4x+4>0(2)x2−4x+4<0\Large (1) \quad x^2 - 4x + 4 > 0 \qquad (2) \quad x^2 - 4x + 4 < 0(1)x2−4x+4>0(2)x2−4x+4<0方程 x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0x2−4x+4=0 的判别式： Δ=(−4)2−4×1×4=0\large \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 0Δ=(−4)2−4×1×4=0即方程 x2−4x+4>0x^2 - 4x + 4 > 0x2−4x+4>0 有两个相等的根 x=2x = 2x=2。 用配方法，(1)(1)(1) 和 (2)(2)(2) 中的不等式可分别化为： (1)(x−2)2>0(2)(x−2)2<0\large (1) \quad(x - 2)^2 > 0 \qquad (2) \quad(x - 2)^2 < 0(1)(x−2)2>0(2)(x−2)2<0(1)(1)(1) 因为任何一个实数的平方大于等于 0，所以当 x≠2x \not = 2x=2 时，都有 (x−2)2>0\large (x - 2)^2 > 0(x−2)2>0 所以 (1)(1)(1) 的解集是 {x∈R∣x≠2}\Large \{ x \in \mathbf{R} | x \not = 2 \}{x∈R∣x=2}， 即 (−∞,2)∪(2,+∞)\Large (- \infty , 2) \cup (2, + \infty)(−∞,2)∪(2,+∞)。 (2)(2)(2) 由 (1)(1)(1) 可知，没有一个实数 xxx 使得不等式 (x−2)2(x - 2)^2(x−2)2 成立，所以 (2)(2)(2) 的解集是 ∅\Large \varnothing∅ 。 (1)x2−2x+3>0(2)x2−2x+3<0\Large (1) \quad x^2 - 2x + 3 > 0 \qquad (2) \quad x^2 - 2x + 3 < 0(1)x2−2x+3>0(2)x2−2x+3<0方程 x2−2x+3=0x^2 -2x + 3 = 0x2−2x+3=0 的判别式： Δ=(−2)2−4×1×3=−8<0\large \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 3 = -8 < 0Δ=(−2)2−4×1×3=−8<0方程 x2−2x+3=0x^2 -2x + 3 = 0x2−2x+3=0 无解。 用配方法原不等式分别可转化为： (1)(x−1)2+2>0(2)(x−1)2+2<0\large (1) \quad (x - 1)^2 + 2 > 0 \qquad (2) \quad (x - 1)^2 + 2 < 0(1)(x−1)2+2>0(2)(x−1)2+2<0(1)(1)(1) 对于一个实数 xxx ，都有 x2−2x+3=(x−1)2+2>0\large x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 > 0x2−2x+3=(x−1)2+2>0 即不等式对任何实数都成立，所以原不等式的解集是 R\Large \mathbf{R}R (2)(2)(2) 对于任意一个实数 xxx ，不等式 (x−1)2+2<0\large (x - 1)^2 + 2 < 0(x−1)2+2<0 都不成立， 所以原不等式的解集是 ∅\Large \varnothing∅ 解一元二次不等式的步骤归纳可以把解一元二次不等式 ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a>0)ax^2 + bx + c < 0 (a>0)ax2+bx+c<0(a>0) 的步骤归纳如下： 求出方程 ax2+bx+c=0\huge ax^2 + bx + c =0ax2+bx+c=0 的 判别式 Δ=b2−4ac\huge \Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac 的值。 如果 Δ>0\Delta > 0Δ>0，则二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)ax^2 + bx + c = 0 (a > 0)ax2+bx+c=0(a>0) 有两个不等式的根 x1x_1x1 、 x2x_2x2 （设 x1 ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)\Large ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) 不等式 a(x−x1)(x−x2)>0a(x - x_1)(x - x_2) > 0a(x−x1)(x−x2)>0 的解集是： (−∞,x1)∪(x2,+∞)(- \infty , x_1) \cup (x_2, + \infty)(−∞,x1)∪(x2,+∞) 不等式 a(x−x1)(x−x2)<0a(x - x_1)(x - x_2) < 0a(x−x1)(x−x2)<0 的解集是： (x1,x2)(x_1, x_2)(x1,x2)如果 Δ=0\Delta = 0Δ=0，通过配方得 a(x+b2a)2+4ab−b24a=a(x+b2x)2\Large a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ab - b^2}{4a} = a(x + \frac{b}{2x})^2a(x+2ab)2+4a4ab−b2=a(x+2xb)2由此可知，ax2+bx+c>0ax^2 + bx +c > 0ax2+bx+c>0 的解集是 (−∞,−b2a)∪(−b2a,+∞)(- \infty , - \frac{b}{2a}) \cup (- \frac{b}{2a} , + \infty)(−∞,−2ab)∪(−2ab,+∞)ax2+bx+c<0ax^2 + bx +c < 0ax2+bx+c<0 的解集是 ∅\varnothing∅ 如果 Δ<0\Delta < 0Δ<0，通过配方得 (−∞,−b2a)2+4ac−b24a(4ac−b24a>0)\Large (- \infty , - \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} (\frac{4ac - b^2}{4a} > 0)(−∞,−2ab)2+4a4ac−b2(4a4ac−b2>0)由此可知，ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0ax2+bx+c>0 的解集是 R\mathbf{R}R ax2+bx+c<0ax^2 + bx + c < 0ax2+bx+c<0 的解集是 ∅\varnothing∅ 对于 a<0a<0a<0 的情况，通过在已知不等式两端乘以 −1-1−1，可化为 a>0a>0a>0 2.2.4 含有绝对值的不等式在实数集中，对任何实数 aaa ： ∣a∣={a（当 a > 0 时）0（当 a = 0 时）−a（当 a < 0 时）\Large |a| = \begin{cases} a \text{（当 a > 0 时）} \\ 0 \text{（当 a = 0 时）} \\ -a \text{（当 a < 0 时）} \\ \end{cases}∣a∣=⎩⎨⎧a（当 a > 0 时）0（当 a = 0 时）−a（当 a < 0 时）实数 aaa 的绝对值 ∣a∣|a|∣a∣ ，在数轴上等于对应实数 aaa 的点到原点的距离。 由 ∣a∣|a|∣a∣ 的这一几何意义可知，不等式 ∣x∣≤3\Large |x| \le 3∣x∣≤3 的解集是， 与原点的距离小于或等于 3 的所有点所对应的实数全体构成的集合，即： {x∣∣x∣≤3}={x∣x≥−3 ，且 x≤3} ，或 [−3,3]\Large \{ x | |x| \le 3 \} = \{ x | x \ge -3 \text{ ，且 } x \le 3 \} \text{ ，或 } [-3, 3]{x∣∣x∣≤3}={x∣x≥−3 ，且 x≤3} ，或 [−3,3]不等式 ∣x∣>3\Large |x| > 3∣x∣>3 的解集是，与原点距离大于 3 的所有点所对应的实数全体构成的集合。即： {x∣x<−3或x>3}即(−∞,−3)∪(3,+∞)\Large \{ x | x < -3 \text{或} x > 3 \} \text{即} (- \infty , -3) \cup (3, + \infty){x∣x<−3或x>3}即(−∞,−3)∪(3,+∞)一般地，如果 a>0a > 0a>0 ，则： ∣x∣≤a⇔−a≤x≤a∣x∣>a⇔x<−a 或 x>a\Large \begin{align*} |x| \le a & \hArr - a \le x \le a \\ |x| > a & \hArr x < -a \text{ 或 } x > a \end{align*}∣x∣≤a∣x∣>a⇔−a≤x≤a⇔x<−a 或 x>a解含有绝对值的不等式∣2x−3∣<5\Huge |2x -3| < 5∣2x−3∣<5−5<2x−3<5−5+3<2x−3+3<5+3−2<2x<8−2×12<2x×12<8×12−1 ∣2x−3∣≥5\Huge |2x - 3| \ge 5∣2x−3∣≥5原不等式等价于： 2x−3≥5或2x−3≤5\Large 2x - 3 \ge 5 \quad \text{或} \quad 2x - 3 \le 52x−3≥5或2x−3≤52x−3≥52x - 3 \ge 52x−3≥5 的解集是 [4,+∞)[4, + \infty )[4,+∞) ； 2x−3≤52x - 3 \le 52x−3≤5 的解集是 (−∞,−1](- \infty , -1](−∞,−1]； 所以原不等式的解集是 (−∞,−1]∪[4,+∞)\Large (- \infty , -1] \cup [4, + \infty)(−∞,−1]∪[4,+∞)